MECANICA DE MATERIALES
TEMAS Y SUBTEMAS
1. FUERZA AXIAL, CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
1.1. Diagramas de fuerza cortante
1.2. Diagramas de momento flexionante
1.3. Método por secciones
1.4. Método por integración
2. EL ANÁLISIS DE ESFUERZO
2.1. Esfuerzo normal debido a una carga axial
2.2. Esfuerzo cortante
2.3. Esfuerzo de apoyo
2.4. Factor de seguridad
3. EL ANÁLISIS DE DEFORMACIÓN
3.1. Concepto de deformación
3.2. Deformación axial
3.3. Deformación multiaxial
3.4. Deformación térmica
4. ELEMENTOS SUJETOS A TORSIÓN
4.1. Torsión en vigas de sección circular
4.2. El cálculo de árboles de transmisión de potencia
4.3. Ángulo de torsión
4.4. Torsión de barras circulares
5. ESFUERZOS POR FLEXIÓN EN VIGAS
5.1. Flexión en vigas
5.2. Ángulo de flexión
5.3. Efectos combinados
5.4. Flexión en vigas curvas
6. ESFUERZOS COMBINADOS
6.1. Círculo de Mohr para esfuerzos
6.2. Análisis de esfuerzo bajo cargas combinadas
6.3. Estructuras
6.4. Columnas.
Relación de Poisson
Siempre que una barra homogénea sea cargada axialmente y
no se exceda su límite elástico, se estará cumpliendo la ley de
Hooke, la cual cumple con:
∈𝑥= 𝜎𝑥/𝐸
Respecto a las caras perpendiculares a los planos y y z los
esfuerzos son iguales a cero, como se observa en la figura b.
Sin embargo, las deformaciones ϵy y ϵz no son cero, ya que
en todo material de ingeniería, cuando se le aplica una
fuerza de tensión axial como p, esta es acompañada por
una reducción del área transversal de la barra.
Considerando materiales homogéneos e isotrópicos, las
deformaciones unitarias deben tener el mismo valor para cualquier dirección transversal, es por eso
que ϵy y ϵz son iguales. A los valores de estas secciones tranversales se le conoce como deformación
lateral. A la relación de la deformación unitaria lateral y la axial se le conoce como relación de
Poisson, en honor al matemático frances Siméon Denis Poisson, y se denota de la siguiente manera:
𝜈 = −
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 ; 𝜈 =
−∈𝑦
∈𝑥
=
−∈𝑧
∈𝑥
El signo negativvo se ingluye en la relación dado que las deformaciones laterales y axiales tienen
signos opuestos. Finalmente, mediante la Ley de Hooke y la relación de Poisson, podemos calcular
las deformaciones laterales de la siguiente forma:
∈𝑦= −𝜈 ∈𝑥= −
𝜈𝜎𝑥
𝐸
Cabe mencionar que es erróneo el suponer que el volumen del material sujeta a una fuerza axial P
se mantenga constante tras las deformacioanes axiales y laterales. Para mayor información revisar
el Módulo de Elasticidad Volumétrico.
Referencia:
P. Beer, Ferdinand; Russel Johnston Jr. , E.; T. de DeWolf, John; F. Mazurek, David . (2009). Mecánica
de Materiales. México, Distrito Federal: McGraw-Hill.
Problemas que involucran cambios de temperatura
En los problemas revisados anteriormente no habíamos considerado los efectos que cambios en la
temperatura pueden tener en las estructuras o elementos. Por lo que ahora revisaremos casos en
los que sí se considera el efecto de los cambios de temperatura.
Al considerar una barra homogénea como la de la figura 2.34,
observamos que al existir un cambio en la temperatura, la
longitud de la barra aumenta δT, el cual es diirectamente
proporcional a la longitud de la barra y al cambio de
temperatura. Esta relación es representada por la siguiente
ecuación:
𝛿𝑇 = 𝛼(∆𝑇)𝐿
Donde α es el coeficiente de expansión térmica del material
de la barra.
A partir de δT encontramos la deformación unitaria térmica:
∈𝑇=
𝛿𝑇
𝐿
= 𝛼(∆𝑇)
Respecto a los esfuerzos, en el caso de la deformación unitaria térmica no existen esfuerzos
asociados a esta. Ahora, si consideramos la misma barra pero sujeta en ambos extremos (Figura
2.35) y la temperatura incrementa, sí se desarrollan esfuerzos debido a las reacciones en los
soportes.
A partir de estos análisis podemos
establecer la siguiente ecuación de deformación:
𝛿 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 0
De la cual podemos despejar la variable P.
En los casos en los que la barra sea de área transversal homogénea y del mismo material, como la
que acabamos de revisar, aplicará el análisis planteado en el que la deformación total será igual a
cero. Por otro lado, si la barra está compuesta por materiales distintos o secciones de área
transversal distinta, las deformaciones de los distintos elementos no cumplirán con la igualdad a
cero.
Problemas estáticamente indeterminados
En los casos que hemos revisado anteriormente pudimos encontrar las fuerzas internas producidas
por fuerzas externas a las que se encuentra sometido un elemento a partir de ecuaciones de
equilibrio. Sin embargo, existen casos en los que no es posible determinar las fuerzas internas
basándonos únicamente en ecuaciones de equilibrio de la estática. Para estos casos debemos
complementar a las ecuaciones de equilibrio con relaciones a partir de las deformaciones que sufren
los elementos analizados. A este tipo de problemas se les conoce como estáticamente
indeterminados.
Podemos identificar una estructura estáticamente indeterminada cuando está sujeta por más
soportes de los necesarios. Por lo tanto, tenemos más reacciones que ecuaciones con las cuales
trabajar. Para resolver estos problemas existe el método de superposición, donde nos basamos en
que estas reacciones, junto con las otras fuerzas, generan deformaciones de acuerdo con las
condiciones del elemento. Así, tomando dichas deformaciones individuales, sumamos los resultados
obtenidos para encontrar las incógnitas.
Ejemplo:
Una barra AB de longitud L y sección transversal uniforme se sujeta a soportes rígidos en A y B antes
de cargarse. ¿Cuáles son los esfuerzos en las porciones AC y BC debido a la aplicación de la carga P
en el punto C (figura 2.26a)?
A partir de la figura 2.26 b obtenermos la ecuación de equilibrio
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 𝑃, pero con esa ecuación no es suficiente para encontrar las
reacciones. Esto nos indica que es estáticamente indeterminado, por lo que
ahora nos fijamos en las deformaciones de la barra, la cual debe ser igual a
cero. Observando los estiramientos en los segmentos AC y BC, definimos
𝛿 = 𝛿1 + 𝛿2 = 0 y sustituyendo las deformaciones en términos de las
fuerzas internas correspondiente P1 y P2:
𝛿 =
𝑃1𝐿1
𝐴𝐸 +
𝑃2𝐿2
𝐴𝐸 = 0
Observando la figura 2.27, en el inciso b observamos que RA es igual a P1,
mientras que en el inciso c P2 es igual a –RB. Sustituyendo en la ecuación
anterior y simplificando obtenemos lo siguiente:
𝑅𝐴𝐿1 − 𝑅𝐵𝐿2 = 0
Resolviendo simultáneamente para RA y RB obtenemos 𝑅𝐴 = 𝑃𝐿2/𝐿 y 𝑅𝐵 =
𝑃𝐿1/𝐿 . A partir de estas ecuaciones obtenemos los esfuerzos al dividir RA y
RB entre el área transversal de la barra:
𝜎1 =
𝑃𝐿2
𝐴𝐿
Y 𝜎2 = −
𝑃𝐿1
𝐴𝐿
Resumen Capítulo 2: Deformación normal bajo carga axial y Diagrama Esfuerzo-Deformación
Las deformaciones causadas por cargas en elementos de una estructura o máquina es un área
importante de análisis y peste puede ayudar al cálculo de esfuerzos. Si nos basamos solamente en
los principios de la estática, no siempre podremos determinar las fuerzas sobre los elementos de
una estructura. Pero si consideramos a las estructuras como deformables, a través del análisis de
las deformaciones podremos encontrar las fuerzas que son estáticamente indeterminadas. Por
medio de este análisis también podremos determinar la distribución de esfuerzos en un elemento.
La deformación normal (Є) o deformación unitaria normal, es la deformación del elemento por
unidad de longitud. Si graficamos esfuerzos contra deformación obtendremos un diagrama
esfuerzo-deformación, del cual podemos obtener propiedades del material tales como su módulo
de elasticidad o si el material es frágil o dúctil y si las deformaciones al aplicar una carga
desaparecerán o serán permanentes.
Deformación normal bajo carga axial
Si a la barra de la figura a se le aplica una fuerza P en C, esta se estirará.
Esto significa que tuvo una deformación δ. Si graficamos la magnitud de
P contra la deformación total δ generaremo el diagrama carga-
deformación (figura 2.2 cuya información es específica para la varilla de
longitud, área transversal y material como la de la figura 2.1
Entonces, la deformación unitaria normal en una varilla bajo carga axial
es la deformación por unidad de longitud de dicha varilla:
∈=
𝛿
𝐿
Por otro lado, si elaboramos una gráfica de esfuerzocontra deformación,
a partir de la curva generada obtendremos características del material y
no dependen de las dimensiones de la muestra. Este es el diagrama
esfuerzo-deformación.
En un cuerpo con una sección transversal variable, se deberá establecer
un punto Q tomando en cuenta un pequeño tramo de longitud sin
deformar (Δx). Así, si Δδ es la deformación del segmento bajo la carga
dada, la deformación normal en Q es: ∈= lim
∆𝑥→0
∆𝛿
∆𝑥
=
𝑑𝛿
𝑑𝑥
Cabe mencionar que la deformación normal (Є) es adimensional.
Diagrama Esfuerzo-Deformación
Para conocer el diagrama de algún material se realizan pruebas de tensiónsobre una probeta del
material. En dichas pruebas se someten las probetas a fuerzas axiales de tensión y se registran las
deformaciones o estiramientos para cada fuerza aplicada. Los diagramas de de los materiales
pueden variar aún siendo el mismo material, por lo que se realizan varias pruebas para establecer
diagrama promedio, por así decirlo. Dichas variaciones son causadas por factores como la
temperatura, la velocidad con que se aplicó la carga, entre otros. A partir de los diagramas de
esfuerzo-deformación se divide a los materiales en dos tipos: dúctiles y frágiles.
Los materiales dúctiles se caracterizan porque su longitud aumenta linealmente con la carga al
principio, y de manera muy lenta. Es por eso que el primer segmento del diagrama es una recta
con una pendiente bastante pronunciada. Pero una vez que se alcanza el valor crítico σy del
esfuerzo, la muestra se deforma bastante con incrementos relativamente pequeños de la carga. Se
dice que esta característica es la capacidad del material de fluir. Al llegar a cierto valor de la carga,
el diámetro de la muestra comenzará a reducirse; a esto se le llama estricción y es la causa por la
cual la deformación ocurre con cargas menores hasta fracturarse.
σy=resistencia o punto de fluenciao cedencia del
material
σU= correspode a la carga máxima aplicada al
material y se le llama resistencia útlima
σB=corresponde a la fractura y se le conoce como
resistencia a la fractura.
Respecto a los materiales frágiles, la taza de
alargamiento no cambia mucho antes de que llegue a
fracturarse. Es por eso que para estos materiales la
resistencia última es igual que la resistencia a la
fractura y la deformación unitaria en el punto de
fractura es mucho menor que en los materiales
dúctiles. Tampoco presentan estricción y la frcactura se
presenta en una superficie perpendicular a la carga
aplicada.
Daniel Godínez Barranco A01167599
Mecánica de Materiales
Profesor Miguel Ángel Ríos
Resumen Capítulo 1
Al iniciar la lectura del capítulo 1 encontramos un repaso sobre métodos revisados en el curso de
Estática. Entonces, se analiza una estructura y como primer paso debemos realizar el diagrama de
cuerpo libre. Esto nos ayuda a notar las fuerzas que actúan sobre los segmentos de la estructura y
así podremos establecer de manera adecuada nuestras ecuaciones. Recordamos que para
conocer las reacciones en los soportes debemos establecer ecuaciones de equilibrio para Fx, Fy y
para los momentos en los soportes.
Otra forma de resolver esta estructura es aplicando el concepto de “elemento de dos fuerzas” para
los segmentos AB y BC. Este concepto se refiere a un elemento que es sometido a fuerzas en sólo
lugar y las líneas de acción de las fuerzas resultantes en ambos puntos son de igual magnitud, de
sentido opuesto y pasan a través de ambos puntos.
Ahora, el cálculo de las fuerzas en los soportes no es suficiente información para decir que esta no
se romperá; esto depende tanto de la fuerza interna de la varilla, el área transversal y el material
de la misma. Si tomamos la fuerza interna o carga axial de la varilla y la dividimos por el área
transversal conoceremos la fuerza por unidad de área o esfuerzo
𝜎 =
𝑃
𝐴
Un esfuerzo positivo significa tensión y un esfuerzo negativo significa compresión y las unidades
en el S.I. son el N/m2
, lo que es lo mismo, Pascales. En el Sistema Inglés las unidades son lb/in2
,
es decir, psi.
Ya que conocemos lo que son los esfuerzos, podremos aplicarlo para el diseño de estructuras.
Retomando el ejemplo de la figura 1.1, debemos considerar los esfuerzos para determinar o
verificar si cierto material es adecuado y soportará con seguridad las cargas. Por lo tanto, debemos
conocer el esfuerzo máximo permisible del material que se planea utilizar y verificar si el esfuerzo
en el segmento es menor a este. Si el esfuerzo en el segmento rebasa al esfuerzo máximo
permisible se puede recalcular el área del segmento y utilizar el mismo material o en dado caso
buscar otro material adecuado a la situación.
Cuando la fuerza interna es normal al plano del área transversal, al esfuerzo se le conoce como
esfuerzo normal. Cabe mencionar que al utilizar la fórmula 𝜎 =
𝑃
𝐴
, el resultado denota el promedio
del esfuerzo a través de la sección transversal. Pero si requerimos calcular el esfuerzo en un puto
específico del área transversal debemos considerar ΔF y dividirlo por un segmento ΔA. Cuando ΔA
se aproxima a cero podremos encontrar el esfuerzo en ese punto.
𝜎 = lim
ΔA→0
ΔF
ΔA
El resultado de calcular el valor promedio del esfuerzo es distinto al de un punto en específico, por
lo tanto 𝜎 varía a lo largo de la varilla. Es decir, si una varilla es un elemento de dos fuerzas, la
variación de 𝜎 es menor en puntos alejados de aquellos donde se aplica la fuerza y mayor en los
puntos cercanos.
A partir de la fórmula anterior conocemos que la resultante de las fuerzas internas distribuidas es
igual a ∫ 𝑑𝐹 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴 𝐴
= 𝑃. Al integrar obtendremos un volumen, el cual será igual a la magnitud P.
Sin embargo, es lo único que podemos determinar a partir de la estática acerca de la distribución
de los esfuerzos normales en diversas secciones de la varilla; entonces se dice que dicha
distribución es estáticamente indeterminable.
En adelante, cuando un elemento este cargado por fuerzas axiales supondremos que la
distribución de los esfuerzos normales es uniforme. Pero si supondremos que la distribución de
esfuerzos sea uniforme, la resultante de las fuerzas internas (P) debe ser aplicada en el centroide
de la sección considerada. A este tipo de carga se le conoce como carga céntrica y supondremos
que todo elemento de dos fuerzas recto contará con este tipo de carga. En caso que un elemento
con dos fuerzas este cargado axialmente pero excéntricamente, las fuerzas internas serán
equivalentes a una fuerza aplicada en el centroide de la sección y a un par cuyo momento es
M=Pd, como se muestra en la siguiente figura. Como consecuencia, la distribución de esfuerzos y
fuerzas no puede ser uniforme.
En el caso de que a un segmento se le apliquen dos fuerzas transversales, y al realizar un corte
entre los puntos de aplicación de las fuerzas generaremos el diagrama de una sección del
segmento. En el plano de corte existen fuerzas internas conocidas como fuerzas cortantes y la
fuerza resultante (P) es cortante a la sección. Aplicando la fórmula 𝜏 =
𝑃
𝐴
obtenemos el esfuerzo
promedio cortante de la sección. Cabe mencionar que a diferencia que los esfuerzos normales no
podemos suponer que la distribución de los esfuerzos cortantes sea uniforme.
Es común que los esfuerzos cortantes se presenten en pernos y remaches que conectan
elementos. Ya que se a los segmentos se les aplica una fuerza de tensión, el perno sufrirá fuerzas
cortantes. Es claro que existen diversas condiciones en las que las cargas son aplicadas, por lo
que los pernos pueden estar en corte doble. En este caso, la fórmula para calcular el esfuerzo
cortante promedio de la sección se replantearía de la siguiente manera: 𝜏 =
𝑃
𝐴
=
𝐹⁄2
𝐴
=
𝐹
2𝐴
Al igual que se presentan esfuerzos en el perno, se presentan esfuerzos en la superficie de
contacto de los elementos que conectan. La fuerza que es ejercida en la superficie de contacto es
igual y opuesta a la fuerza ejercida por el segmento en el perno. Para calcular este llamado
esfuerzo de apoyo dividiremos la fuerza entre el área de la proyección del perno sobre la superficie
de apoyo. Por lo tanto, la fórmula quedaría de la siguiente manera: 𝜎𝑏 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝑡𝑑
, considerando “t”
como la longitud del espesor de la placa y “d” como el ancho de la proyección del diámetro del
perno sobre la superficie.
Finalmente, para la solución de problemas de este tipo se nos recomienda primeramente
establece un diagrama de cuerpo libre con los datos que nos proporciona el problema planteados
de manera correcta, lo cual nos ayudará a establecer las fuerzas y reacciones en las ecuaciones de
equilibrio de manera correcta. A partir de la solución de las ecuaciones podremos pasar a calcular
esfuerzos y deformaciones.
